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已知为XYZ正实数,且X^2+Y^2+Z^2=2,则T=√5XY+YZ的最大值是

解:这是一个多元函数的条件极值问题,可以用拉格朗日乘数法求解.设F(x,y,z)=√5xy+yz+λ(x^2+y^2+z^2-2),对每个变量求导,令其等于0,有Fx=√5y+2λx=0①,Fy=√5x+z+2λy=0②,Fz=Y+2λz=0③,Fλ=x^2+y^2+z^2-2=0④,联解方程组,将①

解:因(x+y+z)=x+y+z+2(xy+yz+zx).故由题设有1+2m=(a+b+c)≥0.等号仅当a+b+c=0时取得,即有m≥-1/2.故m有最小值-1/2.

令a=xy/z,b=zx/y,c=yz/x.故ab=x^2,ac=y^2,bc=z^2.从而ab+bc+ac=1S^2 =(xy/z+yz/x+zx/y)^2 = (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ac) = 3即 S >= 根号3.(就是最小值是根号3)当且仅当 x=y=z=(根号3)/3 时等号取到

均值不等式,x,y,z都是正实数,有x^2+(y^2)/2≥xy√2..①(等号成立x^2=(y^2)/2(y^2)/2+z^2≥yz√2..②(等号成立(y^2)/2=z^2①+②得x^2+y^2/2+y^2/2+z^2≥xy√2+yz√2=√2(xy+yz)所以(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)≤1/√2=(√2)/2故当且仅当x^2=(y^2)/2=z^2,即x=(√2)y/2=z时,(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)取得最大值(√2)/2

可以用柯西不等式(x^2/y+y^2/z+z^2/x)*(y+z+x)>(x+y+z)^2 xyz为正实数且xyz不全相等 不等式两边同除以(x+y+z) x^2/y+y^2/z+z^2/x>x+y+z

解:yz/x+xz/y+xy/z=(yz/x+xz/y+xy/z)*1=(yz/x+xz/y+xy/z)*(x^2+y^2+z^2)=3xyz+y^3z/x+yz^3/x+x^3z/y+xz^3/y+x^3y/z+xy^3/z>=9xyz因为x^2y^2z^2<=[(x^2+y^2+z^2)/3]^3所以xyz<=根号下(1/27)即xyz最大值为根号下(1/27)故原式>=9*根号下(1/27)=根号3答案:根号3

解:(一)由题设可知,(x+y+z)=x+y+z+2(xy+yz+zx)=1+2(xy+yz+zx).===>2(xy+yz+zx)=(x+y+z)-1≥-1.∴xy+yz+zx≥-1/2.等号仅当x+y+z=0时取得.∴(xy+yz+zx)min=-1/2.例如,取x=√2/2,y=-√2/2,z=0.(二)再由题设可知,(x-y)+(y-z)+(z-x)=2(x+y+z)-2(xy+yz+zx)=2-2(xy+yz+zx)≥0.===>xy+yz+zx≤1.等号仅当x=y=z=√3/3时取得.∴(xy+yz+zx)max=1.综上可知,xy+yz+zx既有最大值,也有最小值.故选C.

解:2xy ≤ x^2+y^2 = 1 - z^2,仅当x=y时成立∴S = (z + 1)^2 / 2xyz≥ (z + 1)^2 / z(1 - z^2)= (z + 1) / z(1 - z)= - 1 / [(z+1) - 3 + 2/(z+1)]由于(z+1) + 2/(z+1) - 3 ≥ 2√2 - 3,等号当z+1 = 2/(z+1),亦即z = √2-1时成立.所以 - 1 / [(z+1) - 3 + 2/(z+1)] ≥ 1/(3 - 2√2) = 3 + 2√2,S的最小值为3 + 2√2,当z = √2-1时成立.不难求出,此时的x = y = √(√2 - 1).

由柯西不等式知:(x+y+z)^2=3√3=x^2+y^2+z^2>=3(xyz)^(2/3)即xyz>=(√3)^3=3√3

x^2+y^2+z^2=12∴12>=3倍3次根号xyz∴xyzx^3+y^3+z^3>=3xyz∴最小值是24

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